ÉOVATIONS AUX. VAIUATIONS

ÉOVATIONS AUX. VAIUATIONS. Ij 

Prenons Y, =j)-, (j?) pour piemlt-re valeur approchée de 1 iiilé- 
grale cherchée. j)uls posons 

et, d'une façon générale, 

Nous allons dabord montrer que toutes ces valeurs approchées 
restent comprises entre j^, (x) — a et j>^, (x) -\- a dans tout linler- 
vaile (^0, jc, ), pourvu que la valeur absolue de À soit assez petite. 
Nous avons en ellet 

\n(x)-J'i{T)= f \f[t, Y„^i(l),l]-/[t,yi(n, o]{c/t: 

si Y„_, (^x) est compris entre Vi [x) — a el y, (x) -+- a, nous avons 
encore, d'après la relation (i6), 



|Y„(a-)-j,(a:)| <f )U\\„.i(t)-yi{t)\-^K\l\\ 



di. 



Considérons une suite de fondions A„(.i) définies par la relation 
de récurrence 

avec la condilion A|(.r)=:o. Il est clair (pie toutes les fonc- 
tions 1, (.r), . . ., \„[x), . . . sont positives entre x^ et x, , et qu'on 
a \Y„(x) — yi{x)\ <^ ^ji{^)- ^)i' les fonctions ^/,{x) sont les 
valeurs approchées successives île l'intégrale de l'équation linéaire 

«'= Il » — Kj >. :, 

qui est nulle pour .r = x,), c est-à-ilire de la fon<lion 

iilAl *.H..-..„l_,'. 

la première vaitnir approein-e é-ianl luilji", loules les sui\aiites sont 



Il> CIlAPITilK XXIII. — INTliGIlALLS INFIMMliNT VOISINES- 

inlVrieures à linléj^rale elle-même (n" 457) et par suite on a, quel 
que soit /?, 

Si [AJesl tel {|ue le second nieiul)re de celte inégalité soil inférieur 
à a, on voit de proche en proclie que toutes les \aleurs ap])rocliées 
successives \2(-^)5 • • •? Y„(x), . . . restent comprises entre^i {x) — a 
el y i {x) -\- a , dans tout l'intervalle (^Tq, Xi). Le raisonnement 
s'achève comme dans le cas général (n"389); lorsque w cVoîl indé- 
lininieul, Y„(.r) a ])()nr liniile une intégrale \ (:r, A) qui prend la 
valeur j'u pour x = ^o? qi^'i est continue dans l'inler\alle (j'y, x^ ), 
et reste conq)rise entre yi — a et y, + a dans cet intervalle. La 
courbe intégrale reste donc comprise dans la bande R lorsque x 
varie de Xq à ^,. Les méthodes des n'" io9-4()0 prouvent de plus 
que \ (x, À), considérée comme fonction des deux variables x et À 
est continue, ainsi que ses dérivées partielles Y^. et Yx, lorsque x 
reste dans l'intervalle (xq, ^i), et que [À| reste inférieur à un 
nombre <x convenablement choisi. 

Le raisonnement est évidemment général, et la pro{)osition 
s'étend à un svstème formé d'un nombre (pielconcpie d'équations 
différentielles, dont les seconds membres dépendent d'un iiondjre 
quelconque de paramètres. 

Lorsque les équations (i 4) admettent pour X, =: o, . . . , )v^= o 
un système particulier d'intégrales yi = y'l(x), continues dans 
r intervalle (xq, ^i ), si les seconds membres /*, , f>^ ,.,, f,i 
sont continus et admettent des dérivées partielles continues pa/- 
/apport aux variables y i^ àa, dans le domaine I) défini par les 
conditions 

Xoix-^xi, v^(a:-) — rt^j/<j°(r)-+-a, |X/,|<6, 

a et b étant deux nombres positifs^ les intégrales de ce système 
qui, pour X = Xt)^ prennent les mêmes i^aleurs que 

sont des /onctions continues ainsi que leurs dérivées partielles 
du premier ordre par rapport à x et aux paramètres À^, dans 



I. — ÉQLATIONS ALX VARIATIONS. «7 

un domaine D' ch'Jini par A'.ç condilions 

X^'^X^Xl, ;À/^| < a, k = t , 7., . . . , p. 

'X étant un nombre pofiilif convenablement déterminé. 

Dans le cas imrliculier où les seconds nieniljres f^ sont des 
fonctions analytiques des inconnues r/ et des parainrtres Aa, les 
intégrales du svsti-me sont représentées, dans la méthode de 
M. Picard, par des sommes de séries uniformément convergentes 
dont tous les termes sont des fonctions analvtiques (') des para- 
mètres ).;t. Ces intégrales sont donc aussi des fonctions analvtiques 
de ces paramètres, et nous sommes ainsi conduits à un théorème 
de M. [^)incaré, qui sera déiurdiirc- directement un peu plus loin. 

On peut encore i;énéraliser le théorème précédent en supposant 
que les valeurs initiales de yi , y -2., . . . ^ y„ pour j: = x^ sont autant 
de variables indépendantes. Si nous représentons la \aleur ini- 
tiale de yi (^x) par r"('j7o) -f- i^/' •' suffira de [)0ser 

yi{x)= S,— Y/fx; 

pour être ramené à un système de même forme que le système {i4)î 
mais renfermant n paramètres de plus Tj,, [io^ ...» ,J/i. Les inté- 
grales de ce nouveau système qui pour j" = Xo prennent les valeurs 
initiales jK^"(.ro) sont des fondions continues et admettent des 
dérivées partielles continues par rapport aux nouveaux paramètres 
^j), ^joj • . .1 ,J«) pourvu rpie les \aleurs absolues de ces paramètres 
restent suffisamment [)etitcs. 

Enfin on peut aussi supposer que la valeur initiale de x est elle- 
même variable en admettant la continuité de /^j.. Par exemple, si 
dans l'équation (i5^ nous posons 



lérpiation devient 



a: = X -T- 3t, j' = Y — £, 



et linté^rale de celte équation cpn pour \ = Xq iircnd \\\ \;d( ur )'„ 
est une fonction continue de a, 'tt. A lor-qncx \aiie de ./„ à Ui, en 

(') Il suffit en cllet <!<■ <iuflqiirs modifications dans les raisonncrnenis pour voir 
que les conclusions subsistent lorsque les paramètres ont des valeurs complexes, 
pourvu que les modules soient assez pelils. 

G., III. a 



10 CHAPITKE XXIII. — I.NTKCiU VM:S INFIMMKN'T VOISINES. 

supposant loujours vérifiées les conditions <"noncées plus haut, 
pourvu (pie |x|, ||3[, |a| soient assez petits. Ou en conclut <{ue, 
dans le même domaine, l'intégrale de l'équation (i5) qui j)rend 
la valeur yo-\-^j pour x = Xa-T-y. est une fonction continue, 
admettant des dérivées partielles continues par rapport aux va- 
riables a, |î, À. 

Exemples. — ^o\l y^i x) une intégrale particulière d'une équation du 
premier ordre ^' =/(j", j'), continue de x^ à Xi, et prenant la valeur >'o 
pour X = Xa. 

I^'intégrale de la même équation qui prend la valeur Vo ■+■ À peur x = x^ 
est une fonction ¥{x, K) des deux, variables x et )., continue et admettant 
des dérivées partielles continues lorsque x varie de x,, à Xi et A de — /i à 
-T-//, le nombre positif h étant cboisi assez petit. Soit AB le segment de 
la droite x = Xo, compris entre les deux points A. et B d'ordonnées^,) — /' 
etjKn-t-/'- De chaque point du segment AB part un segment de courbe 
intégrale allant de ce point d'abscisse ^o à un point d'abscisse Xf, et 
l'ensemble de ces segments remplit la bande comprise entre les deux 
droites x = Xq, x = Xi, et les deux segments issus des points A et B. 

Soient, en effet, X', À" deux valeurs de X comprises entre — // et -j- /* ; 
les deux courbes intégrales G>/, G/', qui correspondent à ces valeurs de X 
ne peuvent avoir de point commun entre les deux droites x =^ Xo, x = Xi, 
car il passerait par ce point commun deux courbes intégrales. Si l'on coupe 
ces courbes par la parallèle r = a à Oy (xq < a < .r, ), la fonction F(a, X) 
ne peut aller qu'en croissant avec X; si l'on avait à la fois 

X'>X", F(a, X').;F(a, X"), 

il est clair que les deux courbes C>/, G>." se couperaient entre les deux 
droites 37 = a:,), a" = a. La fonction F(a, X) passe donc une fois et une seule 
fois par toute valeur comprise entre F(a, — /*) et F( a, />) lorsque X croît 
de —h à —A. 

Gonsidérons encore un système de deux équations du premier ordre 
dont les seconds membres ne renferment pas de paramètre variable, et 
soient ^i(a;), Zi(x) un système |)arliculier d'intégrales, continues dans 
l'intervalle {xq, Xi) et prenant les valeurs >'o et ^o pour x = x^. Les inté- 
grales qui, pour x = x,^ prennent les valeurs initiales ^o-f-X, ^o -•- i^^ sont 
des fonctions continues, ainsi que leurs dérivées, dans tout l'inter- 
valle (xo, Xi) |)ourvu que |X| et ||i.| soient inférieurs à un nombre positif 
convenable. Dans le plan x = Xq, considérons une petite courbe fermée y 
entourant le point M,, de coordonnées (xo, ^o, -^o)- De chaque point de la 
région 7, limitée par v, part un segment de courbe intégrale aboutissant 
à un point du plan x = Xy. L'ensemble de ces segments remplit une région 
de l'espace, litnitée par la surface formée par les segments issus dos diffé- 
rents points de •;•